Διδακτικός Στόχος: Οι μαθητές να αναγνωρίζουν και να εφαρμόζουν τις βασικές ταυτότητες: (α+β)^2  (α-β)^2 (α^2-β^2) ,(α+β)^3 (α-β)^3

ΘΕΩΡΙΑ

1. Ταυτότητα : Λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει µεταβλητές και αληθεύει για οποιεσδήποτε τιµές των µεταβλητών της.

2. Αξιοσηµείωτες ταυτότητες : Είναι ταυτότητες που χρησιµοποιούµε πολύ συχνά και γι’ αυτό το λόγο πρέπει να τις µάθουµε πολύ καλά . 3.

Τετράγωνο αθροίσµατος – διαφοράς : (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 (α −β)2 = α2 − 2αβ + β2 4.

Κύβος αθροίσµατος – διαφοράς : (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 (α− β)3 = α3 −3α2β + 3αβ2− β3

Γινόµενο αθροίσµατος επί διαφορά : (α + β)(α−β) = α2 – β2

 Άθροισµα κύβων – διαφορά κύβων : ( α + β) (α2 – αβ + β2) = α3 + β3 (α – β) (α2 + αβ + β2) = α3 – β3

 ΣΧΟΛΙΑ

1. Ανάποδα οι ταυτότητες : Τις ταυτότητες που αναφέραµε παραπάνω θα πρέπει να µάθουµε να τις χρησιµοποιούµε πηγαίνοντας και από το δεύτερο µέλος προς το πρώτο .

2. Τετράγωνο τριωνύµου : (α + β + γ) 2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ

Παραλλαγές της παραπάνω ταυτότητας (α − β + γ) 2 = α2 + β2 + γ2 − 2αβ + 2αγ −2βγ (α − β − γ) 2 = α2 + β2 + γ2 − 2αβ −2αγ + 2βγ

Παρατηρήστε ότι στα διπλάσια γινόµενο υπολογίζουµε το πρόσηµο των α , β , γ

∆ύο ακόµα ταυτότητες : α2 + β2 = (α + β)2−2αβ α3 + β3 = (α + β)3−3αβ(α + β) 4.

Μέθοδος : Για την απόδειξη µιας ταυτότητας συνήθως ξεκινάµε από το ένα µέλος το επεξεργαζόµαστε και προσπαθούµε να φτάσουµε στο άλλο µέλος . Κάποιες φορές επεξεργαζόµαστε και τα δύο µέλη έως ότου φτάσουµε σε κάτι που ισχύει ή επεξεργαζόµαστε κάθε µέλος ξεχωριστά προσδοκώντας να βρούµε το ίδιο αποτέλεσµα .

Σύσταση : Τις ταυτότητες θα πρέπει να µάθετε να τις διατυπώνετε και µε λόγια πχ το ( α + β)2 = µε το τετράγωνο του πρώτου όρου συν το διπλάσιο γινόµενο των δύο όρων συν το τετράγωνου του δεύτερου όρου Για τις υπόλοιπες ταυτότητες γράψτε στο τετράδιό σας εσείς τους δικούσας κανόνες Όταν θέλετε να υπολογίσετε µια παράσταση µε τη χρήση κάποιας ταυτότητας λέτε τον σχετικό κανόνα και γράφετε .

Ταυτότητες υπό συνθήκη : Είναι ταυτότητες που ισχύουν µε ορισµένες προϋποθέσεις . Για να αποδείξουµε µια τέτοια ταυτότητα προσπαθούµε να αξιοποιήσουµε την υπόθεση του προβλήµατος κατάλληλα έτσι ώστε σε συνδυασµό µε άλλες γνώσεις που έχουµε να φτάσουµε στο ζητούµενο.